关于微积分的学习报告

摘要

​ 微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

​ 关键词：极限，连续，导数，积分，微分方程

学习笔记

极限

​ 数列极限: $\forall \epsilon>0,\exists N>0$, 使得 $n>N,|a_n-A|<\epsilon$, 则 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=A$

​ 函数极限： $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0 $, 使得 $0<|x-x_0|<\delta |f(x_0)-A|<\epsilon $ 则 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$

连续

​ $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)$ 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续

​ $\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)=f(x_0)$ 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 右连续

​ $\lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)=f(x_0)$ 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 左连续

导数

​ $f’(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

​ $\lim_{x\rightarrow x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 右导

​ $\lim_{x\rightarrow x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 左导

​ 导数存在，左右导数存在且相等。

​ 可导一定连续，连续不一定可导

​ $x=\phi(y)$ (可导) 的反函数 $y=f(x)$ , $f’(x)=\frac{1}{\phi’(y)}$

​ $u(v(x))=u’(v(x))*v’(x)$

​ $(\tan x)’=\sec^2 x$ $(\cot x)’=- \csc^2 x$

​ $(\sec x)’=\sec x* \tan x$ $(\csc x)’=-\csc x * \cot x$

​ $(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

​ $(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}$ $(arccot x )’=-\frac{1}{1+x^2}$

微分

​ $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$

​ A 与 $\Delta x$ 无关，则称 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 可微，记：

​ $dy|{x=x_0}=\Delta y|{x=x_0}=A(x_0)$

​ 近似 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f(x_0)\Delta x$

高阶导数

​ $(uv)^{(n)}=\sum \binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}$

​ $(a^x)^{(n)}=a^x\ln^n a$ $(x^a)^{(n)}=a(a-1)..(a-n+1)x^{an}$

​ $(\sin kx)^{(n)}=k^n \sin(kx+\frac{ n\pi}{2})$ $(\cos kx)^{(n)}=k^n \cos(kx+\frac{ n\pi}{2})$

​ $(\ln x)^{(n)} =(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$ $(\frac{1}{x+c})^{(n)}=(-1)^n\frac{n!}{(x+c)^{n+1}}$

​ 反函数二阶导 $\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{y’’}{y’^3}$

​ 参数方程 $ \begin{cases} x=f(t)
y=g(t) \end{cases} $ ，则 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{f’g’‘=f’‘g’}{f’^3}$

中值定理

​ 若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，则

​ $\exists \xi\in(a,b),\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}$

泰勒公式

$\begin{align} e^{x} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} &=& 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots &\quad \forall x \quad \text{(对所有x都成立)} \nonumber \\ \ln(1 - x) &=& -\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} &=& -x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \cdots - \frac{x^{n}}{n} - \cdots &\quad \forall x \in [-1,1) \quad \text{(对于在区间[-1,1)内所有的x都成立)} \nonumber \\ \ln(1 + x) &=& \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1}}{n} x^{n} &=& x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n} + \cdots &\quad \forall x \in(-1,1] \quad \text{(对于在区间(-1,1]内所有的x都成立)} \nonumber \end{align}$

$\begin{align} \sin x &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1} &=& x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots &\quad \forall x \nonumber \\ \cos x &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} &=& 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots &\quad \forall x \nonumber \\ \arcsin x &=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)} x^{2n + 1} &=& x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{5}}{40} + \cdots &\quad \forall x:|x| \leq 1 \nonumber \\ \arccos x &=& \frac{\pi}{2} - \arcsin x \nonumber \\ &=& \frac{\pi}{2} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)} x^{2n + 1} &=& \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^{3}}{6} - \frac{3x^{5}}{40} + \cdots &\quad \forall x:|x| \leq 1 \nonumber \\ \arctan x &=& \sum_{n= 0 }^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n + 1} x^{2n + 1} &=& x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \cdots &\quad \forall x:|x| \leq 1, x \neq \pm i \nonumber \end{align}$

不定积分

$\displaystyle\int a^x{\rm d}x=\frac{a^x}{\ln a} +C$

$\displaystyle\int \frac{1}{x}{\rm d}x=\ln|x|+C$

$\displaystyle\int \ln x{\rm d}x=x\ln x-x+C$

$\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}{\rm d}x=\arctan x+C$

$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x=\arcsin x+C$

$\displaystyle\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x=\arccos x+C$

$\displaystyle\int \tan x{\rm d}x=-\ln|\cos x|+C$

$\displaystyle\int \cot x{\rm d}x=-\ln|\sin x|+C$

$\displaystyle\int \sec x{\rm d}x=-\ln|\sec x+\tan x|+C=\frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right|+C$

$\displaystyle\int \csc x{\rm d}x=-\ln|\csc x-\cot x|+C=\ln\left| \tan \frac{x}{2} \right|+C$

定积分

​ $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} = \sum_{i=1}^{+\infty}f(\xi_{i})\Delta x_{i}, \xi_{i} \in [a,b]$

​ $\displaystyle \frac{\rm d}{\rm dx} \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\varphi’(x)-f(\psi(x))\psi’(x)$

​ 若函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数， $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$

华里兹公式

由区间再现公式 $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx{\rm d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx{\rm d}x, \int_a^bf(x){\rm d}x=\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_a^bf(a+b-x){\rm d}x$

$\because\displaystyle I_n’=\int\sin^nx{\rm d}x=\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}’, \quad n\geq 2$

$\therefore\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}, I_0=\frac{\pi}{2}, I_1=1$

华里兹公式

$\therefore I_n= \begin{cases} \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}=\frac{(n-1)(n-3)\times 2}{n(n-2)\times 1}, &n \text{ is odd} \ \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\times\frac{\pi}{2}=\frac{(n-1)(n-3)\times 1}{n(n-2)\times 2}\times\frac{\pi}{2}, &n \text{ is even} \ \end{cases} $

Γ 函数

​ $\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^se^{-x}{\rm d}x$

1. $\Gamma(s+1)=s\cdot \Gamma(s)$
2. $\Gamma(1)=1$
3. $\Gamma(n)=n!$
4. $\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin{\pi s}}$
5. $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

可分离变量微分方程

​ $\begin{align} &y’=f(x)g(y)\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Leftrightarrow \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx \end{align}$

$\begin{align} &求解方法对两端积分 \Leftrightarrow \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx\ \end{align}$

齐次微分方程

​ $\begin{align} &\frac{dy}{dx}=\Phi(\frac{y}{x})\end{align}$

$\begin{align} &方法：令u=\frac{y}{x},y=ux,y’=u+u’x\ \end{align}$

一阶线性微分方程

​$\begin{align} &形如 y’+p(x)y=Q(x) \end{align}$

$\begin{align} &通解：y=e^{-\int p(x)dx}[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}+C]\ \end{align}$

伯努利方程

​ $\begin{align} &形如 y’+p(x)y=Q(x)y^n(n \neq 0,1)\end{align}$

​ $\begin{align} &方法：令u=y^{1-n}\ &y^{-\alpha}y’+p(x)y^{1-\alpha}=Q(x)\ &令u=y^{1-\alpha}\ &(1-\alpha)y^{-\alpha}y’=\frac{du}{dx}\ \end{align}$

可降次高阶微分方程

​ $\begin{align} &方程为y’‘=f(y,y’)型
&令y’=p(y),y’‘=p\frac{dp}{dy} \end{align}$

​ $\begin{align} &方程为y’‘=f(x,y’)型
&令y’=p(x),y’’=\frac{dp}{dx} \end{align}$

​ $\begin{align} &方程为y^{(n)}=f(x)型
&令z=y^{(n-1)},z’=y^{(n)} \end{align}$

常系数齐次线性微分方程

​ $y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+…+a_{n-1}y=0$

​ $r^n+a_1r^{n-1}+…+a_{n-1}=0$

​ 通解: $\sum C_ix^ke^{r_i}$ (其中，$x^k$ 表示 $r_i$ 有 $k$ 个相同的根)

常系数非齐次线性微分方程

​ $y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+…+a_{n-1}y=e^sf(x) $

​ $r^n+a_1r^{n-1}+…+a_{n-1}=0$

​ 通解：$\sum x^ke^{r_i}$ (其中，$x^k$ 表示 $r_i$ 有 $k$ 个相同的根)

​ 特解：$x^ke^s g(x)$ ( $g(x)$ 为与 $f(x)$ 同阶的多项式)

其他

​ 一些奇怪但可能会用到的公式

​ $\displaystyle \frac{1}{1+x^{2n}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1-x\cos\frac{2k-1}{2n}\pi}{x^2-2x\cos\frac{2k-1}{2n}\pi+1} $

​ $\displaystyle \frac{1}{1+x^{2n+1}}=\frac{1}{(2n+1)(1+x)}+ \frac{2}{2n+1}\sum_{i=1}^n \frac{1-x\cos\frac{2k-1}{2n+1}\pi}{x^2-2x\cos\frac{2k-1}{2n+1}\pi+1} $

总结

​ 以上便是本学期我所学习的知识的大致总结，用markdown的形式总结出来，方便日后复习调用，该总结仍在不断完善中。